1. 集合

1.1 定义

朴素集合论中,对“集合”不给出定义。

空集:不包含任何元素的集合。

又可以定义为:

空集:任何对于此集合的元素所作的全称命题均为真。

全称命题:形如”对于所有的XX,某命题为真”
存在命题:形如”存在XX,使某命题为真”

其他:子集、真子集

集合A与B相等:

1.2 基本运算

  • 并集
  • 交集

并集和交集满足定律

  • 分配律
  • 结合律
  • 交换律

其他集合

  • 差集
  • 补集
  • 全集

德摩根定律: ,

笛卡尔积(卡式积): 定义为集合:

不交并(disjoint unioin): 并集时对相同元素做区分, 即

幂集: 子集的集合

1.3 关系

关系:定义在 A 上的关系,是 A 与自身卡式积的子集

偏序关系:A 上的偏序关系是 AXA 的子集 R 且符合

  1. 自反性: , 必有
  2. 反对称性: ,当且仅当 a = b
  3. 传递性

等价关系: 同偏序关系,但第2条为对称性:

定义 , 等价关系相关定理:

即,多个等价类可以对一个集合A进行分割

商集:有等价关系~的类A,A/~ 定义为商集,由等价类组成集合,即

1.4 映射

  • 映射 是 A X B 的子集 f,对任意 a,仅有一个 (a, b) 属于 f
  • A 为定义域,B 为培域,B 中一部分为值域

  • 单射
  • 满射
  • 双射(等势、一一对应)

定义:

给定

使对于一个 ,

为 f 的一个 拉回(pull-back) 或者 逆(inverse), 为 D 上的纤维(fiber).

同理可以定义一个推出:

f 为一个推出,f(C) 为像.

卡式幂集: 为从 A 到 B 的所有映射组成的集合。它与幂集存在一一对应(proof?)

Cantor-Bernstein-Schroder 定理: 如果集合 A 与 B 之间存在单射 和 单射 , 则它们之间存在一一对应(proof?)

定义良好

关于映射定义,需要检验是否真是一个映射(不可以有一个元素映射到多个元素)

2. 群

2.1 群定义

定义群:群是一个集合 G 及其上的一个二元运算 , 并且满足:

  • 结合律
  • 有恒等元素
  • 有逆元

若此群还满足交换律,则称为 Abel 群.

定理:

  • 恒等元素只有一个
  • 逆元只有一个
  • 任意元素逆元的逆元是它本身

2.2 子群和生成

子群:当 H 是群 G 的一个子集并且乘法 * 限定到 H 上跟 H 也构成一个群的时候,我们称 H 为G 的 一个子群.

记作:

有如下定理:

  • G的恒等元素e属于H并且是H的恒等元素
  • a在H里的逆元素也是a在G里的逆元素

生成: 由S生成的子群为

即:包含S的子群之交。

S 为 <S> 的生成集,S 的元素为 <S> 的生成元素.

需证明子群集合 ,则该集合元素的交也是一个S的子群.

  • 封闭
  • 结合
  • 单位元
  • 逆元