模糊控制复习笔记

引言

Note: intuition:

• 概率论主要反映的是客观上的自然的不确定性
• 模糊性主要是人为的主观理解上的不确定性

理论基础

集合论基础

集合 元素 论域(研究的对象总和) 空集 子集

模糊集合

隶属度函数

今天天气：冷、热、不冷、不热

离散形式、连续形式

Zadeh 表示法

模糊集合基本运算

1. 相等 $A = B \leftrightarrow \mu_A(x) = \mu_B(x)$
2. 包含/子集 $A\subset B \leftrightarrow \mu_A(x)\leq\mu_B(x)$
3. 模糊空集 $A=\emptyset \leftrightarrow \mu_A(x) = 0$
4. 并(取大) $C = A\cup B, \mu_C=max(\mu_A(x),\mu_B(x)) = \mu_A(x)\vee\mu_B(x)$
5. 交(取小) $C = A\cap B, \mu_C=\mu_A\wedge\mu_B$
6. 补(用1减)

模糊集合性质

1. 幂等 $A\cup A = A, A\cap A = A$
2. 交换、结合
3. 吸收 $A\cup (A\cap B) = A$
4. 分配 $A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)$
5. 对偶(德摩根)
6. 两极

模糊关系

二元、Cartesian Product

关系表示：隶属度函数（连续）、模糊矩阵

e.g. 父母，子女 长得 相似

• R o S = max - min 合成 $\mu_{R\circ S}(x,z)=\vee_{y\in Y}(\mu_R(x,y)\wedge\mu_S(y,z))$
• R o S = max - 乘积合成 $\mu_{R\circ S}(x,z)=\vee_{y\in Y}(\mu_R(x,y)\cdot\mu_S(y,z))$

e.g. 合成：父母子女相似，父母与祖父母相似 合成 得子女与祖父母相似

模糊逻辑

语言变量

• x: 变量名称
• T(x): 语言变量值
• X: 论域
• G: 产生x值名称的语法规则
• M: 与各值含义有关的语义规则

年龄->语法(G)->语言变量值(年幼、年长)->语义规则(M)->论域(X)

M 规定了隶属度函数：年幼->年龄范围

语气算子: 词的前缀改变隶属度(e.g.)

模糊蕴含关系

• 蕴含：if … then … 记作 $A\to B$.
• 命题：
  • 二值命题 为真(1)或假(0)，
  • 模糊命题: [0, 1] 上取值
• 记法
  • if A then B: $A\to B$
  • if A then B else C: $(A\to B)\cup(\bar A\to C)$
  • if A and B then C: $A\times B \to C$

模糊蕴含的运算

• 模糊蕴含最小运算 Mamdani
  • 蕴含关系 $R = A\to B = A\times B = A^TB = \int\mu_A(x)\cap \mu_B(y) /(x,y)$
  • A 为 m * 1 矩阵，乘的结果为 m * n 矩阵
• 模糊蕴含积运算 Larsen
  • 蕴含关系 $R = A\to B = A\times B = A^Tg B = \int\mu_A(x)\mu_B(y) /(x,y)$

蕴含概念：

• A 对应一种m元模糊集 $A, \mu_A(x)$
• B 对应一种n元模糊集 $B, \mu_B(x)$
• 蕴含关系：m * n 元模糊集，对应隶属度函数$A\times B \to \mu_{A\to B}(x)$

模糊推理方法

单前提单规则

• 前提 事实(模糊集) ＋ 前提 规则(模糊蕴含)
• 结论 (模糊集): $B' = A' \circ (A \to B)$
• $A'$ 为一元时，$\circ$ 所表示的关系合成: 行向量 X 矩阵

可以先计算出一部分，可得一个常数:

多前提单规则

• 前提 事实 （模糊集＋模糊集）＋前提 规则（模糊蕴含）
• 结论(模糊集): $C' = (A'\times B')\circ(A\times B\to C)$

可以先计算出一部分

多前提多规则 (MISO)

• 前提 事实（模糊集，模糊集）＋ 前提 规则（蕴含1 蕴含2)
• 结论(模糊集): $C'=(A'\times B')\circ(R_1\cup R_2)​$

可以先计算出一部分

MIMO

使用规则库