引言

Note: intuition:

  • 概率论主要反映的是客观上的自然的不确定性
  • 模糊性主要是人为的主观理解上的不确定性

理论基础

集合论基础

集合 元素 论域(研究的对象总和) 空集 子集

模糊集合

隶属度函数

今天天气:冷、热、不冷、不热

离散形式、连续形式

Zadeh 表示法

模糊集合基本运算

  1. 相等
  2. 包含/子集
  3. 模糊空集
  4. 并(取大)
  5. 交(取小)
  6. 补(用1减)

模糊集合性质

  1. 幂等
  2. 交换、结合
  3. 吸收
  4. 分配
  5. 对偶(德摩根)
  6. 两极

模糊关系

二元、Cartesian Product

关系表示:隶属度函数(连续)、模糊矩阵

e.g. 父母,子女 长得 相似

  • R o S = max - min 合成
  • R o S = max - 乘积合成

e.g. 合成:父母子女相似,父母与祖父母相似 合成 得子女与祖父母相似

模糊逻辑

语言变量

  • x: 变量名称
  • T(x): 语言变量值
  • X: 论域
  • G: 产生x值名称的语法规则
  • M: 与各值含义有关的语义规则

年龄->语法(G)->语言变量值(年幼、年长)->语义规则(M)->论域(X)

M 规定了隶属度函数:年幼->年龄范围

语气算子: 词的前缀改变隶属度(e.g.)

模糊蕴含关系

  • 蕴含:if … then … 记作 .
  • 命题:
    • 二值命题 为真(1)或假(0),
    • 模糊命题: [0, 1] 上取值
  • 记法
    • if A then B:
    • if A then B else C:
    • if A and B then C:

模糊蕴含的运算

  • 模糊蕴含最小运算 Mamdani
    • 蕴含关系
    • A 为 m * 1 矩阵,乘的结果为 m * n 矩阵
  • 模糊蕴含积运算 Larsen
    • 蕴含关系

蕴含概念:

  • A 对应一种m元模糊集
  • B 对应一种n元模糊集
  • 蕴含关系:m * n 元模糊集,对应隶属度函数

模糊推理方法

单前提单规则

  • 前提 事实(模糊集) + 前提 规则(模糊蕴含)
  • 结论 (模糊集):
  • 为一元时,$\circ$ 所表示的关系合成: 行向量 X 矩阵

可以先计算出一部分,可得一个常数:

多前提单规则

  • 前提 事实 (模糊集+模糊集)+前提 规则(模糊蕴含)
  • 结论(模糊集):

可以先计算出一部分

多前提多规则 (MISO)

  • 前提 事实(模糊集,模糊集)+ 前提 规则(蕴含1 蕴含2)
  • 结论(模糊集):

可以先计算出一部分

MIMO

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