1-1. 线性空间

数环:非空集、和差积封闭
数域:对商封闭

$ V $ 是非空集合,$ P $ 为数域,满足以下8条件.

定义加法运算:

  1. 交换律:$ \forall x, y \in V, \, x + y = y + x $
  2. 结合律:$ \forall x, y, z \in V, \, x + (y + z) = (x + y) + z $
  3. 有零元:$ \exists 0 \in V, \forall x \in V, x + 0 = x $
  4. 有负元:$ \forall x \in V, \exists y \in V, x + y = 0 $ 称 y 为 x 的负元,计作 -x

定义数乘运算:

  1. 分配律:$ (\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x $
  2. 数因子分配:$ \lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y $
  3. 结合律:$ \lambda (\mu x) = (\lambda \mu) x $
  4. 单位元:$ 1x = x $

则 $ (V, P) $ 为线性空间。$ P $ 一般可为实数集合 $ \mathbb R $