1-2. 基、维数、坐标

1. 线性表示

… omitted …

2. 线性无关

: 求证 $ f_1=1, f_2=x, f_3=x^2 $ 线性无关, $1, \sin x$ 线性无关 例2 : 求证 $ g_1=1+x,g_2=1-x,g_3=x^2 $ 线性无关

3. 基

不多、不少,极大无关组. 维数 $ n \rightarrow V^n $

: 求证 $f_1, f_2, f_3$ 为 $P_2[x]$ 的一组基 : 求证 $g_1, g_2, g_3$ 为 $P_2[x]$ 的一组基 Hint : 按定义两条

4. 坐标

这种分块表示较方便

为 $\beta$ 在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下的坐标. 故可得 $\beta \leftrightarrow X\in \mathbb R^n$, 研究传统向量空间的向量即可研究 $\beta$

: 求证: $P_n[x] = {f(x)=…}$ 是 n+1 维 Hint : 找一组基,基维数为 n+1 即可

: 求维数

5. 过渡矩阵

给定基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 和基 $\beta_1,\dots,\beta_n$, 有

即每个 $\beta_i$ 有基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下坐标 过渡矩阵: $C=(C_{ij})_{n\times n}$ 为从基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 到基 $\beta_1,\dots,\beta_n$ 的过渡矩阵

: 会求过渡矩阵.

Note : 两组不好的基 -> 可以由自然基当桥梁