1-4. 线性变换

1. 定义

$\mathscr A:V^n\to V^n, \mathscr A(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot A$, 此时 A 为方阵.

性质 : $\alpha_1,\dots,\alpha_n $ 与 $ \beta_1,\dots,\beta_n $ 为 $V^n$ 的基,且 $(\beta_1,\dots,\beta_n) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot C$ $\mathscr A(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n) A$ $\mathscr B(\beta_1,\dots,\beta_n) = (\beta_1,\dots,\beta_n) B$ 则 $B = C^{-1}AC$ 故 同一个线性变换在不同基下对应的矩阵相似

: $\mathscr A$ 在 $V^4$ 基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 下矩阵

$V^4$ 基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 有: 求 $\mathscr A$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 下矩阵.

Hint : 利用过渡矩阵比定义方便

2. 对角化

$\mathscr A$ 为 $V^n$ 上线性变换,若有 $\lambda\in\mathbb R, 0\neq x\in V^n$ 使 $\mathscr A(x) = \lambda x$ 则 特征值 $\lambda$, 特征向量 x $\mathscr A(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)A$ 记 $x = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)X$, 即 X 为坐标.

故求线性变换的特征值,可以转变为求矩阵特征值,对应特征向量为基乘坐标

: $\mathscr A$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下矩阵 . 求: (1) $\mathscr A$ 的特征值和特征向量. (2) 求基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 使 $\mathscr A$ 在基下矩阵为对角阵. Hint : (1) $\vert \lambda E - A \vert = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 4, \lambda_2=\lambda_3=1$ $\text{when } \lambda_1 = 4, (4E-A)X=0 \Rightarrow X_1=(1, 1, 1)^T$ 故 $\lambda_1$对应特征向量 $x_1 = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)X = \alpha_1+ \alpha_2+ \alpha_3$ 类似求出其他特征向量…

(2) $C^{-1}AC=\Lambda = \begin{pmatrix}4 & & \ & 1 & \ & & 1 \end{pmatrix}$ 所以取 $(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)C$ … etc