1-5. 内积空间

两个例子:

  1. $ (f,g) = \int_a^bf(x)g(x)dx $ 其中 $ f,g \in \mathbb C[a,b] $
  2. $(x, y) = \Sigma_ix_iy_i=x^Ty$

1. 内积

给定线性空间 $(V^n,\mathbb R)$, 定义映射 $\forall x, y \in V^n, \lambda \in \mathbb R; x,y\to(x,y)$ 满足4条:

  1. 可交换 $(x,y) = (y,x)$
  2. $(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$
  3. $(\lambda x,y) = \lambda(x,y)$
  4. 非负 $(x,x)\geqslant0 \text{ 且 } (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0$

: 验证例子 1 为内积定义

欧式空间:线性空间+内积 内积空间性质: 1.长度: $x\in V^n, \vert x\vert = \sqrt{(x,x)}$

2.夹角: $\theta_{x,y} = \arccos \frac{(x,y)}{\vert x\vert \vert y\vert}$

3.度量矩阵: $V^n$ 基 $e_1,\dots,e_n$. A 为度量矩阵. 若基 $e_1,\dots,e_n$ 是标准正交基,A 可为单位阵

$0\leqslant (x,x)=X^TAX \Rightarrow$ A 是正定矩阵

: 基(I) $e_1,\dots,e_n$ 度量矩阵为 A,基(II) $e_1’,\dots,e_n’$ 度量矩阵为 B. 且 $(e_1’,\dots,e_n’) = (e_1,\dots,e_n)C$. 讨论 A, B, C 的关系.

所以 A 与 B 合同.(同一空间不同基下的度量矩阵合同)

2. 正交

$(x,y)=0$ 正交向量组(不含零元)一定线性无关. Hint : 设 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 为正交向量组. 设 类似,将等式与其他向量组内向量作内积,可得其他常数为0

$\star$标准正交基: Gram-Schmidt 方法 : 给出一组基: $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in V^n$. 求标准正交基. 正交规范化过程: (1) 正交化:

(2) 规范化:

标准正交基与任意向量作内积,可得向量用该正交基表示的坐标