1-6. 正交变换

1. 定义

$\forall\alpha,\beta\in V^n, (\mathscr A(\alpha),\mathscr A(\beta)) = (\alpha,\beta)$ 则该变换为正交变换 可验证正交变换保长度、保角度

定理: 对欧式空间,下列等价:

  1. $\mathscr A$ 为正交变换
  2. $\forall\alpha\in V^n, (\mathscr A(\alpha),\mathscr A(\alpha)) = (\alpha,\alpha)$
  3. 任意一个标准正交基 $e_1,\dots,e_n$ 的像 $\mathscr A(e_1),\dots,\mathscr A(e_n)$ 也为标准正交基
  4. $\mathscr A$ 在任意标准正交基下的矩阵 P 满足 $P^TP = PP^T = E$. (P为正交矩阵)

: 求一个正交阵 P 使第一行为 (1/3, 2/3, 2/3). Hint : 第2、3行与之正交,本身也正交,且为单位向量. 求方程解时可以直接猜两个正交解,避免后续又要正交化.

: $(e_1’,\dots,e_n’) = (e_1,\dots,e_n)P\Rightarrow$ P为正交阵.

: $V^n$ 为欧式空间. 基 $e_1,\dots,e_4$ 的度量矩阵 构造一组标准正交基. Hint : 正交化过程中需要计算内积,可以直接由度量矩阵查得.

2. 旋转变换

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可各种方法验证这是正交变换.

推广 $R_{ij}$ 为沿 iOj 平面顺时针旋转. 可验证它为正交阵. 例如: 3维空间在 xOy 平面旋转 [image_missing]

: 将 $X=(1,2,3)^T$ 旋转变换与 $e_1=(1,0,0)^T $ 同方向向量,求变换矩阵. Hint : 猜最后旋转结果为 $(\sqrt{14},0,0)^T$ 第一步沿 xOy 旋转 [image_missing]

几何法找到 $\theta, \cos\theta, \sin\theta$ 或代数法

3. 镜像变换

w 为一个与镜面垂直的向量. 可验证 H 为正交阵,变换为正交变换.

想法: [image_missing]

任意给镜面,一定可以找到 w 与之垂直 $\mathscr A(\zeta) = \eta$ 按图可知 $\zeta - \eta$ 在 w 上的投影 = 2倍 $\zeta$ 在 w 上的投影 = $2w^T\zeta$ Note : $(w, b) = \vert w\vert\vert b\vert\cos\theta = 1\cdot\vert b\vert\cos\theta$ 可得上述最后等号

: 用镜面变换将 $\zeta = (0, 3, 0, 4)^T$ 变为与向量 $e_1 = (1, 0, 0, 0)^T 同方向的向量,并求出变换矩阵. Hint : 四维向量不好画,就随便画图 [image_missing]

找一个与 $\zeta$ 方向上的单位向量(为了与 $e_1$ 一样长) 则找一个 w 如下(我们并不关心镜面) 镜面得到的像 $\mathscr A(\zeta) = e_1\vert\zeta\vert$ 相当于把长度移到第一维上.

Note : 空间中最镜像:要么对一个平面作镜像;若仅以一个方向作镜子,则一般要求原像、像、镜子向量三者共面.