记录关于矩阵理论的一些逻辑主线。

1 推广

推广 向量 为 任意集合,得到 线性空间 满足 8个条件

数乘 条件中有 数域 概念

空间 中引出 : 一组空间中的向量,不多不少

对应 basis 得到 坐标,可以表示任意向量

不同基 之间有 过渡矩阵 相联系

子空间 概念
子空间 有 直和 等概念

2 抽象算子

算子 是集合之间的映射

线性算子 满足 线性条件

0算子、数乘、微分、积分 等都是 线性算子
空间同构 $\Leftrightarrow$ 空间存在 同构算子(一一对应)

基 可表示任意向量,故研究 基 在 算子 下的像.

基像 可以由 目标空间 的一组基 表示.

表示关系 得到 算子对应一组基偶的矩阵表示

变换 的连续作用 与 矩阵 的对应关系一一对应

3 线性变换

从 一个空间 映射到 同一空间 的线性算子 称为 线性变换

线性变换满足 交换律、结合律、左右数乘分配率

线性变换 在 不同的基 下 对应的 矩阵 相似 $ B = C^{-1}AC $,C 为过渡矩阵

证明关键,变换:$\mathscr A(basis’)=\mathscr A(basis)C=(basis’)B$

研究秩,与以前类似关系和结论

线性变换的 特征值特征向量 同样由 $\mathscr A(x)=\lambda x$ 开始推导

得到

  • 特征值 $\leftrightarrow$ 矩阵的特征值
  • 特征向量 $\leftrightarrow$ 矩阵的特征向量 和 基 的线性组合

4 内积空间

定义 内积 满足 4条

由 内积 定义

  • 长度 $\vert x\vert = \sqrt{(x,x)}$
  • 角度

Cauthy-Schwarz 不等式的证明
要点:构造 $(u,u) = (x+ty,x+ty) \ge 0$

由 基 构成 度量矩阵 得 $(x,y)=X^TAY$

度量矩阵 对称、正定
不同基的 度量矩阵 相合同 $B=C^TAC$

5 正交

由内积为0,定义向量正交

一组基正交 得到 正交基,再 标准化 得到 标准正交基

标准化重点 减去 前面所有正交向量上的投影

6 等积变换

线性变换 的 像 的 内积 等于 原始向量的内积,就是等积变换。

此时变换对应的矩阵为 正交阵: $A^TA=AA^T=I$

常用的正交变换 旋转变换:沿 xOy 平面 顺时针旋转,对应x、y维度 上 如下矩阵 $A=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta \ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ 左乘一个向量,将该向量旋转。若更高维,每次只旋转一个平面,其他维度为单位1

镜像变换:变换矩阵 $H=I-2\omega\omega^T$,其中 $\omega$是与超镜面垂直的一个单位向量

证明:用原像、镜像的向量之差的模长,求得单位向量w的倍数