Bird’s-eye view

QQ20160103-0.png

1. 推广得到 lambda matrix

初等变换:

  • 对调行/列
  • 数乘
  • 某列/行乘一个 lambda 多项式再加到另一行/列

任意 lambda 矩阵相抵与对角 Smith 标准形

  • 一定可以将左上角降次:
    • 第一行有不能整除的
    • 第一列有不能整除的
    • 右下方有不能整除的

标准型中各项为不变因子

行列式因子

各阶子式(行列式)中最大公因式

相抵保持秩和行列式因子不变

证明:三种初等变换不改变行列式因子

不变因子与行列式因子的关系:

2. 引出 Jordan normal form

导出 Smith 结论

Smith 标准型唯一:

  1. A 与 Smith 相抵 => A 与 Smith 相同 行列式因子
  2. A 固定 => 行列式因子唯一
  3. Smith 行列式因子 可导出不变因子 => Smith 不变因子唯一
  4. 故 Smith 唯一

初等因子

A 与 B 相抵 => 相同 Smith 标准形 <=> 相同的不变因子、行列式因子

=> 相同初等因子、秩

相同初等因子、秩、阶数 => Smith 标准形

分块矩阵的初等因子 <= 各块初等因子放在一起

相似的矩阵,特征矩阵相抵

引理:

即一个矩阵可分解为 低次矩阵之积 + 低次矩阵(余数)

可得到:

Jordan Normal Form

对 Jordan Block,易求得初等因子:

整个 Jordan Normal Form 的初等因子是各个 block 合起来

故 找到 的初等因子 => 构造出对应 J ~ A => 所有矩阵都相似于某个 J

如果 A 可以对角化,则初等因子全为1次式,极端情况的 Jordan Normal Form

求到 Jordan Normal Form 的 变换矩阵 P

把 P 按列写开则利用J,可得到关于各个列的方程

3. 最小多项式理论

矩阵的多项式

多项式形如 如果带入 A 得到 A 矩阵的多项式 f(A)

矩阵的特征多项式:

=> 可以得到 f(A) = 0 (利用 的伴随矩阵,构造式证明)

化零多项式

定义化零多项式: 使 f(A) = 0 的 f(x)

=> 显然特征多项式就是一个化零

所有化零多项式中,分解因式得到的最大公因式,定义为矩阵的最小多项式 m(x)

那么 m(x) 可整除任意化零、特征多项式

最小多项式等于 特征矩阵的最后一个不变因子 d_n(lambda)

证明略

但可以利用最小多项式降次