Basic Definition

定义四条规则:

把满足对应规则的称为对应的逆:

rules inverse notation
1 减号逆
1 & 2 自反减号逆
1 & 3 最小范数减号逆
1 & 4 最小二乘减号逆
all 加号逆

减号逆

普通求法:

  1. Identity Matrix (but not full rank) 有无穷多减号逆(初等变换求)
  2. 初等变换减号逆可根据等式求出
  3. 任意矩阵可求出无穷多减号逆

自反减号逆

定义左右逆:

同时,将 A 进行满秩分解得 A = BC 则

由上式,可事实上求出满足 1-4 所有条件的加号逆,但唯一。

左右逆有一般式,由其得出的减号逆不唯一。

最小范数逆

易证,可由减号逆求出:

也可以由上面满秩分解和左右逆求。

限制为特殊的左右逆可求出满足条件最强的加号逆。

最小二乘逆

易得,可由减号逆得到

也可以由上面满秩分解和左右逆求。

限制为特殊的左右逆可求出满足条件最强的加号逆。

加号逆

唯一。

可由上面特殊的左右逆和满秩分解得到。

解方程

相容的方程 Ax=b

  • 通解公式
  • 最小范数的公式

不相容的方程 Ax=b

  • 最小二乘解
  • 最小二乘且最小范数