1-2 随机过程的分布

1. 一维分布

$ \forall t \in T, X(t), F(x, t) = P(X(t) \leqslant x) $ 称为随机变量的一维分布.

$ {F(x, t), t \in T} $ 一维分布函数族.

:X 的分布律

x 1 2 3
P 0.2 0.3 0.5

随机过程 $ X(t) = X \sin^2 t, t \in N^+ $. 求分布函数

$X(t)$ $1\sin^2t$ $2\sin^2t$ $3\sin^2t$
P 0.2 0.3 0.5

例2 : $X~N(\mu, \sigma^2), X(t) = 2X+t, t\in \mathbb R$ 求 $F(x, t), f(x, t)$

例3 :

2. 多维分布

$\forall t_1, t_2, …, t_n \in T, (X(t_1), …, X(t_n)) $ 是 n 维随机变量. $ F(x_1, …, x_n; t_1, …, t_n) = P(X(t_i) \leq x_i, \forall i = 1..n) $ 是随机过程的多维分布

例4 : X 分布律如下:

x 1 2
P 0.2 0.8

$X(t) = Xt, t\in \mathbb N^+$. 求$F(x_1, x_2, t_1, t_2)$ Hint :

例5 : 求$F(x_1, x_2, 3, 4)$ Hint :

3. 联合分布

$ {X(t), t\in T}, {Y(t), t\in T}$, T 为相同集合. $\forall t_i\in I^n, t_j\in J^m$ 称为两个随机过程的联合分布