1-3 数字特征

思想:用数字特征(函数)的相应性质研究随机过程.

1. 均值函数

${X(t),t\in T}$ 均值函数:$\forall t\in T, E(X(t)) = m_x(t) = \mu_x(t)$ (需存在)

2. 方差函数

方差函数:$D_x(t) = D(X(t)) $ 标准差函数:$\sigma_x(t) = \sqrt{D_x(t)}$

3. 均方值函数

4. 自相关函数

5. 协方差函数

6. 相关系数(函数)

例2 : X分布率

x 1 2 3
P 0.5 0.1 0.4

$X(t) = X\sin t$, 求均值函数、自相关函数.

解: $ E(X(t)) = E(X\sin t) = \sin tE(x) = … $ $R_X(t_1, t_2) = E(X(t_1)X(t_2)) = E(X^2\sin t_1 \sin t_2) = … $

例3 :随机相位正弦波 $X(t) = a\cos(\omega t + \Phi), t \in \mathbb R$,其中 $a, \omega$为常数,$\Phi \sim U[0, 2\pi]$ 求: $m_X(t), R_X(t_1, t_2)$ 解: 可验证此为平稳过程

例4 : $X(t)=A\cos t + B\cos t, t\in \mathbb R. $ 且 $ A \sim N(\mu, \sigma^2), B\sim N(\mu, \sigma^2) $. 求 $\mu_X(t), R_X(t_1, t_2) $ 解: $\mu_X = \mu(\cos t + \sin t)$ (可验证亦为常数) $R_X(t_1, t_2)=E(x(t_1)x(t_2))$ (一元时间差函数)

7. 互相关函数

Given ${X(t), t\in T}, {Y(t), t \in T}$, 互相关函数 $R_{XY}(t_1, t_2) = E(X(t_1)Y(t_2))$

例5 : $X(t)=A\cos t, Y(t) = A\sin t, A\sim N(\mu, \sigma^2)$. 求 $R_{XY}(t_1, t_2)$

例6 : $X. f(x) = \left{\begin{matrix} & 2x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \ & 0, & others \end{matrix}\right. $. $X(t)=2X+t, t\in \mathbb R$. 求 $f(x_1, t)$

解: 所以