1-4 随机分析

1.收敛(极限)

Idea: $E[(X_n-X)^2]\to 0$ 优于传统的 $P{\vert X_n-X\vert\leqslant\varepsilon\rightarrow1}$,后者需使用切比雪夫不等式,不太方便,前者可以用测量实验数据的方法得到。

均方收敛:给定随机过程${X_n,n\in\mathbb N}$和随机变量X,若,称$X_n$均方收敛于X,计作$\mathsf{l.i.m}X_n=X$

性质证明需用到 Swartz 不等式:

性质1 : 唯一性 $\mathsf{l.i.m}{n\to\infty}X_n=X, \mathsf{l.i.m}{n\to\infty}Y_n=Y$则$P{X=Y}=1$ Hint : $\vert E(X-Y)^2\vert \leqslant \vert E((X-X_n)+(X_n-Y))^2\leqslant\dots$

性质2 : 极限期望可以换序 $l.i.m X_N \to X$ 则 $\lim_{n\to\infty}E(X_n)=E(l.i.mX_n)=E(X)$ Hint : $\vert E(X_n)-E(X)\vert = \vert 1*E(X_n-X)\vert \leqslant \sqrt{E(X_n-X)^2} \to 0$

性质3 : $l.i.mX_n\to X, l.i.mY_n\to Y \Rightarrow E(X_nY_n)\to E(XY)$ Hint : 加一项减一项

性质4 : $l.i.mX_n\to X, l.i.mY_n\to Y \Rightarrow
l.i.m(aX_n+bY_n)=aX+bY\,a,b\in \mathbb R $ Hint : $E(aX_n+bY_n-(aX+bY))\to0$

性质5 : $\lim{a_n}=a,l.i.ma_nX=aX$, X为确定的随机变量 Hint : $E(a_nX-aX)^2$

性质6 : $l.i.mX_n$存在$\Leftrightarrow l.i.m(X_n-X_m)=0$ Hint : =>: 存在=X时,(Xn-X)-(Xm-X); <=: 子列

2. 连续性

随机过程${X(t),t\in T}$, T 需要连续。 对 $t_0\in T$ 若 $l.i.m_{t\to t_0}X(t)=X(t_0)$ 则 $X(t)$ 在 $t=t_0$ 处连续(类似有左右连续)$\lim_{t\to t_0}E(X(t)-X(t_0))^2=0$

例1 : $X(t)=At+B,t\in(a,b)$ 其中 A、B 的一二阶矩存在. 求证 $X(t)$ 连续. Hint : $\forall t_0\in(a,b)
E(X(t)-X(t_0))^2=E(A(t-t_0))^2=(t-t_0)^2E(A^2)\to0$

Th.1 ${X(t)}$ 连续 $\Leftrightarrow R_X(t_1,t_2)$ 在 ${(t,t)\vert t\in T}$ 连续(将二元连续限制在直线上) Hint : ‘=>’: $\lim R_X(t_1,t_2)=\lim E(X(t1)X(t2))=\dots$ (???) ‘<=’: $\lim_{t\to t_0} E(X(t)-X(t_0))^2
= \lim_{t\to t_0}(R_X(t,t)-2R_X(t,t_0)+R_X(t_0,t_0))=0 $

3. 导数

${X(t),t\in T}$ 且 $t_0\in T, \Delta t + t_0 \in T$. $l.i.m_{\Delta t\to0}\frac{X(t_0+\Delta t)-X(t_0)}{\Delta t}$ 存在, 则 $X(t)$ 在 $t=t_0$ 处可导

性质1 : 可导必连续. Hint : $\lim_{\Delta t\to0}E(\frac{X(t_0+\Delta t)-X(t_0)}{\Delta t} - X’(t_0))^2=0$

性质2 : $E(X’(t))\triangleq M_{X’}(t)=m’X(t)$ 即求导和均值函数互换次序 *Hint* : $E(l.i.m{\Delta t\to0}\frac{X(t+\Delta t)-X(t)}{\Delta t}))
=l.i.m_{\Delta t\to0}E(\frac{X(t+\Delta t)-X(t)}{\Delta t})
=l.i.m_{\Delta t\to0}\frac{1}{\Delta t}(m_x(t+\Delta t) -m_x(t)) $

性质3 : $(aX(t)+bY(t))’=aX’(t)+bY’(t)$ 性质4 : $(X)’=0$ $\star$性质5 : $(f(t)X(t))’=f’(t)X(t)+f(t)X’(t)$ Note : $(X(t)Y(t))’$ 不一定存在,要求四阶矩 Hint : 加项减项

性质6: $R_{X’}(t_1,t_2)=\frac{\partial R_X(t_1,t_2)}{\partial t_1 \partial t_2}$ Hint :

Th.2 X(t) 可导 $\Leftrightarrow \lim_{h_1,h_2\to0}\frac{(R_X(t+h_1,t+h_2)-R_X(t+h_1,t)-R_X(t,t+h_2)+R_X(t,t))}{h_1h_2}$ 存在

4. 均方积分

${X(t),t\in T}, f(t),t\in T, t=[a,b]$ $\int_a^bf(t)X(t)dt=l.i.m_{\Delta t_i\to0}\sum_{i=1}^nf(j_i)X(j_i)\Delta t_i$ 存在

Th3 $\int_a^b\int_a^bf(s)f(t)R_X(s,t)dsdt$ 存在 $\Rightarrow \int_a^bf(t)X(t)dt$ 存在

性质1: …. omitted ….