引言

Note: intuition:

  • 概率论主要反映的是客观上的自然的不确定性
  • 模糊性主要是人为的主观理解上的不确定性

理论基础

集合论基础

集合 元素 论域(研究的对象总和) 空集 子集

模糊集合

隶属度函数

\[\mu_A:X\to [0,1]\]

今天天气：冷、热、不冷、不热

离散形式、连续形式

Zadeh 表示法

\[A = \int_X\mu_A(x_i)/x \text{ or } \sum_{x_i\in X}\mu_A(x_i)/x_i\]

模糊集合基本运算

  1. 相等 \(A = B \leftrightarrow \mu_A(x) = \mu_B(x)\)
  2. 包含/子集 \(A\subset B \leftrightarrow \mu_A(x)\leq\mu_B(x)\)
  3. 模糊空集 \(A=\emptyset \leftrightarrow \mu_A(x) = 0\)
  4. 并(取大) \(C = A\cup B, \mu_C=max(\mu_A(x),\mu_B(x)) = \mu_A(x)\vee\mu_B(x)\)
  5. 交(取小) \(C = A\cap B, \mu_C=\mu_A\wedge\mu_B\)
  6. 补(用1减)

模糊集合性质

  1. 幂等 \(A\cup A = A, A\cap A = A\)
  2. 交换、结合
  3. 吸收 \(A\cup (A\cap B) = A\)
  4. 分配 \(A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)\)
  5. 对偶(德摩根)
  6. 两极

模糊关系

\[R(X,Y)=\{((x,y), \mu_R(x,y)) \vert (x,y)\in X\times Y\}\]

二元、Cartesian Product

关系表示：隶属度函数（连续）、模糊矩阵

e.g. 父母，子女 长得 相似

  • R o S = max - min 合成 \(\mu_{R\circ S}(x,z)=\vee_{y\in Y}(\mu_R(x,y)\wedge\mu_S(y,z))\)
  • R o S = max - 乘积合成 \(\mu_{R\circ S}(x,z)=\vee_{y\in Y}(\mu_R(x,y)\cdot\mu_S(y,z))\)

e.g. 合成：父母子女相似，父母与祖父母相似 合成 得子女与祖父母相似

模糊逻辑

语言变量

  • x: 变量名称
  • T(x): 语言变量值
  • X: 论域
  • G: 产生x值名称的语法规则
  • M: 与各值含义有关的语义规则
\[x:\to G \to T(x) \to M \to X\]

年龄->语法(G)->语言变量值(年幼、年长)->语义规则(M)->论域(X)

M 规定了隶属度函数：年幼->年龄范围

语气算子: 词的前缀改变隶属度(e.g.)

\[\begin{aligned} \mu_{\text{extremely }A} &= \mu_A^4, \\ \mu_{\text{very} A} &= \mu_A^{1.25}, \\ \mu_{\text{a bit } A} &= \mu_A^{0.25} \end{aligned}\]

模糊蕴含关系

  • 蕴含：if … then … 记作 \(A\to B\).
  • 命题：
    • 二值命题 为真(1)或假(0)，
    • 模糊命题: [0, 1] 上取值
  • 记法
    • if A then B: \(A\to B\)
    • if A then B else C: \((A\to B)\cup(\bar A\to C)\)
    • if A and B then C: \(A\times B \to C\)

模糊蕴含的运算

  • 模糊蕴含最小运算 Mamdani
    • 蕴含关系 \(R = A\to B = A\times B = A^TB = \int\mu_A(x)\cap \mu_B(y) /(x,y)\)
    • A 为 m * 1 矩阵，乘的结果为 m * n 矩阵
  • 模糊蕴含积运算 Larsen
    • 蕴含关系 \(R = A\to B = A\times B = A^Tg B = \int\mu_A(x)\mu_B(y) /(x,y)\)

蕴含概念：

  • A 对应一种m元模糊集 \(A, \mu_A(x)\)
  • B 对应一种n元模糊集 \(B, \mu_B(x)\)
  • 蕴含关系：m * n 元模糊集，对应隶属度函数\(A\times B \to \mu_{A\to B}(x)\)

模糊推理方法

单前提单规则

  • 前提 事实(模糊集) ＋ 前提 规则(模糊蕴含)
  • 结论 (模糊集): \(B' = A' \circ (A \to B)\)
  • \(A'\) 为一元时，$\circ$ 所表示的关系合成: 行向量 X 矩阵

可以先计算出一部分，可得一个常数:

\[\begin{aligned} \mu_{B'}(y) &= \vee _x(\mu_{A'}(x)\wedge\mu_A(x)\wedge\mu_B(y) )\\ &= (\vee_x(\mu_{A'}(x)\wedge\mu_A(x)))\wedge\mu_B(y) \\ &= \omega \wedge \mu_B(y) \end{aligned}\]

多前提单规则

  • 前提 事实 （模糊集＋模糊集）＋前提 规则（模糊蕴含）
  • 结论(模糊集): \(C' = (A'\times B')\circ(A\times B\to C)\)

可以先计算出一部分

多前提多规则 (MISO)

  • 前提 事实（模糊集，模糊集）＋ 前提 规则（蕴含1 蕴含2)
  • 结论(模糊集): \(C'=(A'\times B')\circ(R_1\cup R_2)​\)

可以先计算出一部分

MIMO

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